Maclaurinin ja hajoaminen joidenkin toimintojen

Opiskelu matematiikan syytä tiedostaa, että summa potenssisarjaksi intervallein lähentyminen jotkut meistä, on jatkuva ja rajoittamattomia kertoja eriytetyn toiminnon. Herää kysymys: onko mahdollista väittää, että annetaan mielivaltainen funktio f (x) - on summa potenssisarjaksi? Eli millä edellytyksillä f-TIONS f (x) voidaan esittää potenssisarjaksi? Tämän tärkeys kysymys on, että on mahdollista korvata noin £ teologinen f (x) on summa muutaman ensimmäisen ehdot potenssisarjaksi, että on polynomi. Tällainen korvaaminen toiminto on varsin yksinkertainen ilmaisu - polynomin - on kätevä ja ratkaista tiettyjä ongelmia matemaattisen analyysin, eli ratkaisemaan integraaleja laskettaessa differentiaaliyhtälöt , jne ...

Se on osoittautunut, että jotkut f-ii f (x), jolloin johdannaisia (n + 1): nnen, jotta voidaan laskea, mukaan lukien viimeisin läheisyydessä (α - R; x ₀ + R), joka on pisteessä x = α käyvän kaava on:

Tämä kaava on nimetty kuuluisan tiedemiehen Brooke Taylor. Joukko, joka on johdettu edellisestä, kutsutaan Maclaurinin sarja:

Sääntö, jonka avulla on mahdollista tuottaa laajeneminen on Maclaurinin sarja:

1. Määrittämään johdannaiset ensimmäisen, toisen, kolmannen, ... järjestyksessä.
2. Laskea, mitä ovat johdannaisia x = 0.
3. Record Maclaurinin sarjan tämän toiminnon, ja sitten määrittää välein lähentymistä.
4. Määrittää aikaväli (R, R), jossa jäljellä oleva osa, jolla on kaava Maclaurinin

R _n (x) -> 0 n -> ääretön. Jos sellainen on olemassa, se funktio f (x) on yhtä suuri kuin summa Maclaurinin sarjan.

Mieti nyt Maclaurin sarja yksittäisten toimintojen.

1. Siten, ensimmäinen, joka on f (x) = e ^x. Tietenkin, että niiden ominaisuudet niin f-la on johdettu erilaisia tilauksia, ja f ^{(k) (x)} = e ^x, missä k on yhtä kuin kaikki luonnolliset luvut. Korvike x = 0. Saadaan f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2, ... Edellä esitetyn perusteella, useita e ^x Se on seuraava:

2. Maclaurinin sarjan funktio f (x) = sin x. Heti täsmentää, että F-TIONS kaikille tiedossa johdannaisilla on lisäksi ^{f (x)} = cos x = sin (x + n / 2), ^{f ' '(x)} = sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), jossa k on yhtä suuri kuin mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Eli tekee yksinkertaisia laskutoimituksia, voimme päätellä, että sarjasta f (x) = sin x on näin:

3. Nyt harkita IJU f-f (x) = cos x. Se ei tunneta kaikkia johdannaisia mielivaltaisessa järjestyksessä, ja ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2, ... Jälleen, se, joka on tehnyt joitakin laskelmia, huomaamme, että sarjan f (x) = cos x näyttää tältä:

Joten, olemme listanneet tärkeimpiä ominaisuuksia, jotka voidaan paisutetaan Maclaurin sarja, mutta ne täydentävät Taylorin sarja tiettyihin toimintoihin. Nyt listaa niitä. On myös huomattava, että Taylorin sarja ja Maclaurin sarja on tärkeä osa työpajan sarjan päätöksiä korkeamman matematiikan. Joten, Taylorin sarja.

1. Ensimmäinen on sarja f-ii f (x) = ln (1 + x). Kuten edellisissä esimerkeissä, tämän me f (x) = ln (1 + x) voidaan taittaa numero, käyttäen yleistä muotoa Maclaurinin sarja. mutta tämä ominaisuus Maclaurinin voidaan saada paljon helpompaa. Integroimalla geometrinen sarja, saadaan useita f (x) = ln (1 + x) näyte:

2. Ja toinen, joka on lopullinen tässä artikkelissa, on sarjan f (x) = arctg x. X kuuluvat väli [-1, 1] on voimassa hajoaminen:

Siinä kaikki. Tässä artikkelissa olen kartoitettu eniten käytetty Taylorin sarja ja Maclaurin sarja korkeamman matematiikan, erityisesti talouden ja teknistä oppilaitosta.