Tasauspyörästöt - mitä tämä on? Miten löytää ero funktion?

Yhdessä johdannaiset niiden toiminnot erot - se joitakin peruskäsitteitä differentiaalisen hammaskiveä, pääjaksoon matemaattisen analyysin. Kuten erottamattomasti toisiinsa molemmat useita vuosisatoja käytetty laajalti ratkaisemaan melkein kaikki ongelmat, jotka ovat syntyneet aikana tieteellisen ja teknisen toiminnan.

Syntyminen käsitteen ero

Ensimmäistä kertaa tehnyt selväksi, että tällainen ero, perustamassa (yhdessä Isaakom Nyutonom) differentiaalilaskenta tunnetuin saksalainen matemaatikko Gotfrid Vilgelm Leybnits. Sitä ennen matemaatikot 17. vuosisadalla. käytetään erittäin epäselvä ja epämääräinen ajatus noin äärettömän "jakamaton" minkä tahansa tunnetun funktion, joka edustaa hyvin pieni vakioarvo, mutta ei yhtä suuri kuin nolla, jonka alapuolella arvoja funktio voi olla yksinkertaisesti. Näin ollen se oli vain yksi askel käyttöön käsitteet äärettömän välein toimintoargumenttia ja niiden lisäyksin toiminnot, jotka voidaan ilmaista jälkimmäisen johdannaiset. Ja tämä vaihe otettiin lähes samanaikaisesti edellä kaksi suuret tiedemiehet.

Perustuu tarpeeseen kiireellisiin käytännön mekaniikka ongelmia, jotka kohtaavat tieteen nopeasti kehittyvä teollisuus ja teknologia, Newton ja Leibniz luotiin yhteinen tapoja löytää toimintojen muutosnopeus (etenkin mekaanisen kehon nopeus tunnetun liikeradan), joka johti käyttöönottoa tällaisten käsitteiden, kuten derivointifunktion ja ero, ja myös havaittu algoritmi käänteisen ongelman ratkaisuja tunnetaan sinänsä (muuttuja) nopeudet kulki löytää polku, joka on johtanut käsitteeseen kiinteä Ala.

Teoksissa Leibniz ja Newtonin idean kävi ilmi, että erot - on verrannollinen lisäys perus argumentit Ah kasvattaa Au toimintoja, jotka voidaan menestyksellisesti soveltaa laskea arvoa jälkimmäisen. Toisin sanoen, ne ovat havainneet, että lisäys toiminto voi olla missä tahansa kohdassa (sen domeenin määritelmä) on ilmaistu sen johdannaisen sekä Au = y '(x) Ah + αΔh jossa α Ah - loput, pyrkivät nolla Ah → 0, paljon nopeammin kuin todellinen Ah.

Mukaan perustajat matemaattisen analyysin erot - tämä on juuri ensimmäinen termi lisäyksin tahansa toimintoja. Jopa ilman selvästi määriteltyä raja käsite sekvenssit ymmärretään intuitiivisesti, että ero derivaatan arvo pyrkii toimimaan kun Ah → 0 - Au / Ah → y '(x).

Toisin Newton, joka oli lähinnä fyysikko ja matemaattisen laite pidetään aputyökalulle tutkimuksen fyysisiä ongelmia, Leibniz kiinnittää enemmän huomiota Välinepaketti, mukaan lukien järjestelmän visuaalinen ja ymmärrettäviä symboleja matemaattisia arvoja. Juuri hän ehdotti vakioesitystapaan Erojen funktio dy = y '(x) dx, dx, ja johdannainen argumentti toimivat niiden suhde y' (x) = dy / dx.

Moderni määritelmä

Mikä on ero kannalta modernin matematiikan? Se liittyy läheisesti käsitteeseen muuttujan lisäyksen. Jos muuttuja y on ensimmäisessä arvossa y y = _1, niin y = y _2, ero y ₂ ─ y ₁ on nimeltään lisäys y. Lisäys voi olla positiivinen. negatiivinen ja nolla. Sana "lisäys" on nimetty Δ, Au tallennus (lue "delta y) tarkoittaa arvon lisäys y. joten Au = y ₂ ─ y _1.

Jos arvo Au mielivaltainen funktio y = f (x) voidaan esittää Au = a Ah + α, jossa A ei ole riippuvainen Ah, t. E. = vakio annetulle x ja termi α kun Ah → 0 taipumus se on jopa nopeampi kuin varsinainen Ah, niin ensimmäinen ( "master") verrannollisen termin Ah, ja on y = f (x) ero, jota merkitään dy tai DF (x) (lue "y de", "de eff X"). Näin ollen Differentials - "Olennainen" lineaarinen suhteessa komponenttien lisäystä Ah toimintoja.

mekaaninen selitys

Olkoon s = f (t) - etäisyyden suoraviivaisesti liikkuva materiaali pisteen alkuasennosta (t - matka-aika). Lisäys As - on tapa vaiheessa aikaväli At, ja ero ds = f '(t) At - tämä polku, joka kohta pidetään saman aikajakson At, jos se säilytti nopeus f' (t), saavutetaan hetkellä t . Kun äärettömän At ds kuvitteellinen polku eroaa todellisesta As äärettömän, jolla on korkeamman asteen suhteen At. Jos nopeus hetkellä t ei ole yhtä kuin nolla, arvioitu arvo ds antaa pienille bias.

geometrinen tulkinta

Anna linja L on kuvaaja y = f (x). Sitten Δ x = MQ, Au = QM '(ks. Alla oleva kuva). Tangentti MN rikkoo Au leikataan kahteen osaan, QN ja NM'. Ensimmäinen ja Ah on verrannollinen QN = MQ ∙ tg (kulma QMN) = Ah f '(x), t. E QN on dy ero.

Toinen osa ero Au NM'daet ─ dy, kun Ah → 0 NM pituus 'pienenee jopa nopeammin kuin lisäys argumentin, eli se on suuruusluokkaa pienuuden suurempi kuin Ah. Tässä tapauksessa, jos f (x) ≠ 0 (ei-samansuuntaisesti tangentin OX) segmentit QM'i QN vastaava; toisin sanoen NM 'laskee nopeasti (järjestys pienuuden sen korkeampi) kuin koko lisäys Au = QM'. Tämä näkyy kuviossa (lähestyy segmentti M'k M NM'sostavlyaet kaikki pienempi prosenttiosuus QM '-segmenttiin).

Niin, graafisesti tasauspyörästö mielivaltainen funktio on sama kuin lisäys ordinaatta tangentin.

Johdannainen ja ero

Eräs toinen tekijä, ensimmäisen aikavälin ilmentymisen lisäys toiminto on arvoa sen johdannaisen f '(x). Näin ollen, seuraavan suhteen - dy = f '(x) Ah tai df (x) = f' (x) Ah.

On tunnettua, että lisäys riippumattoman argumentti on yhtä suuri kuin sen ero Ah = dx. Näin ollen voimme kirjoittaa: f (x) dx = dy.

Löytäminen (joskus sanottu olevan "päätös") hintaerot suoritetaan samat säännöt kuin johdannaiset. Luettelo niistä on jäljempänä.

Mikä on universaali: lisäys argumentin tai sen ero

Tässä se on tarpeen tehdä joitakin selvennyksiä. Edustus arvo f (x) ero Ah mahdollista, kun otetaan huomioon x argumenttina. Mutta toiminta voi olla monimutkainen, jossa x voi olla funktio argumentti t. Sitten esitys differentiaalinen ilmentyminen f '(x) Ah, yleensä, on mahdotonta; paitsi kun kyseessä on lineaarinen riippuvuus x = at + b.

Kuten kaavan f '(x) dx = dy, niin tapauksessa riippumaton argumentti x (niin dx = Ah) tapauksessa parametrinen riippuvuus x t, se on ero.

Esimerkiksi ilmaisu 2 x Ah on y = x ² sen ero, kun x on argumentti. Nyt X = ^t2 ja olettaa T argumentti. Sitten y = x ² = ^t4.

Tätä seuraa (t + At) ² = ^t2 + 2tΔt + At ^2. Siten Ah = 2tΔt + At ^2. Näin ollen: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Tämä ilmaisu ei ole verrannollinen At, ja sen vuoksi on nyt 2xΔh ei ole differentiaalinen. Se löytyy yhtälöstä y = x ² = ^t4. Se on yhtä suuri dy = 4t ³ At.

Jos otamme ilmaisu 2xdx, se on ero y = x ² tahansa väite t. Todellakin, kun x = t ² saatiin dx = 2tΔt.

Joten 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t, t. E. ilmentymisen eroja tallennetaan kaksi eri muuttujien sama.

Vaihtaminen askelin erot

Jos f '(x) ≠ 0, sitten Au ja dy vastaava (kun Ah → 0); jos f (x) = 0 (merkityksen ja dy = 0), ne eivät ole verrattavissa.

Esimerkiksi, jos y = x ^2, sitten Au = (x + Ah) ² ─ x ² = 2xΔh + Ah ² ja dy = 2xΔh. Jos x = 3, meillä on Au = 6Δh + Ah ² ja dy = 6Δh, jotka vastaavat asianmukaisesti Ah ² → 0, kun x = 0 arvo Au = Ah ² ja dy = 0 eivät vastaa.

Tämä seikka, yhdessä yksinkertaisen rakenteen ero (m. E. Lineaarisuus suhteessa Ah), käytetään usein suunnilleen laskennassa, olettaen, että Au ≈ dy pienten Ah. Etsi ero toiminto on yleensä helpompaa kuin laskea tarkkaa arvoa lisäys.

Esimerkiksi meillä on metallinen kuution reuna x = 10,00 cm. Lämmitettäessä reunan pidennetty Ah = 0,001 cm. Kuinka kasvaneeseen kuutio V? Meillä on V = x ^2, niin että dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ ^10. helmikuuta 0/01 = 3 ^(cm3). Lisääntynyt AV vastaava ero dV, jotta AV = 3 cm ^3. Täysi laskelma antaisi ³ AV = 10,01 ─ Maaliskuu ¹⁰ = 3,003001. Mutta tulos kaikkien numeroa lukuun ottamatta ensimmäistä epäluotettava; Näin ollen, se on edelleen tarpeen pyöristää ylöspäin 3 cm ^3.

On selvää, että tämä lähestymistapa on käyttökelpoinen vain, jos se on mahdollista arvioida arvo nölle virhe.

Differentiaaliyhtälön: esimerkkejä

Yritetään löytää ero on funktio y = x ^3, löytää johdannainen. Antakaamme väitteen kasvu Au ja määritellä.

Au = (Ah + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + Ah (Ah 3xΔh ² + ^3).

Tässä kerroin A = 3x ² ei riipu Ah, niin että ensimmäinen termi on verrannollinen Ah, toinen jäsen 3xΔh Ah ² + ³ kun Ah → 0 laskee nopeammin kuin lisäys argumentti. Näin ollen, jäsen 3x ² Ah on ero y = x ^3:

dy = 3x ² Ah = 3x ² dx tai d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Jossa d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Olemme nyt löytää funktio y = 1 / X johdannainen. Sitten d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Näin ollen dy = ─ Ah / x ^2.

Differentials perus algebrafunktiot on esitetty alla.

Arvioitu laskelmat ero

Arvioida funktio f (x), ja sen johdannainen f '(x), kun x = a on usein vaikea, mutta tehdä saman läheisyydessä x = a ei ole helppoa. Sitten tulevat tuella likiarvolauseketta

f (a + Ah) ≈ f '(a) Ah + f (a).

Tämä antaa likiarvo funktion pienin lisäyksin kautta ero Ah f '(a) Ah.

Näin ollen, tämä kaava antaa likiarvolauseketta funktion lopussa pisteen osan pituus Ah summana sen arvo lähtökohta osan (x = a) ja ero samassa lähtökohta. Menetelmän tarkkuus määrittämiseksi funktion arvot alla havainnollistaa piirustus.

Kuitenkin tunnetaan ja tarkka lauseke funktion arvo x = a + Ah, jota esittää kaava rajallinen kerrallaan (tai, vaihtoehtoisesti, Lagrangen kaava)

f (a + Ah) ≈ f '(ξ) Ah + f (a),

jossa pisteessä x = a + ξ on välillä x: = a x = a + Ah, vaikka sen tarkka sijainti on tuntematon. Tarkka kaavalla voidaan arvioida virheen likimääräisen kaava. Jos laitamme Lagrangen kaavassa ξ = Ah / 2, vaikka se lakkaa olemasta tarkka, mutta antaa yleensä, paljon parempi lähestymistapa kuin alkuperäinen ilmaisun kannalta ero.

Arviointi kaavat virhe soveltamalla ero

Mittauslaitteet , periaatteessa, epätarkkoja, ja tuoda mittaustiedot vastaavan virheen. Niille on ominaista rajoittamalla absoluuttinen virhe, tai, lyhyesti sanottuna, raja-virhe - positiivinen, ylittää selvästi virheen absoluuttinen arvo (tai korkeintaan yhtä suuri kuin sen). Rajoitetaan suhteellinen virhe kutsutaan osamäärä, joka saadaan jakamalla se absoluuttinen arvo mitatusta arvosta.

Anna tarkkaa kaavan y = f (x) käytettävän toiminnon vychislyaeniya y, mutta x: n arvo on mittaustulos, ja siksi tuo y virhe. Sitten, löytää rajoittava absoluuttinen virhe │Δu│funktsii y, käyttämällä kaavaa

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

jossa │Δh│yavlyaetsya marginaalinen virhe argumentti. │Δu│ määrä on pyöristetty ylöspäin, kuten lasketaan epätarkasti itse on korvata lisäys on ero laskettaessa.