Differentiaalilaskenta toimintoja yhden ja usean muuttujan

Differentiaalilaskenta on haara matemaattisen analyysin, jossa tarkastellaan johdannainen, erot ja niiden käyttö tutkimuksessa toimintoja.

Tarina

Differentiaalilaskenta noussut itsenäisenä kurinalaisuutta jälkipuoliskolla 17. luvulla, kiitos työn Newton ja Leibniz, joka muotoiltu perussäännökset laskennassa erojen ja huomasi yhteys integraatio ja eriyttäminen. Koska kurinalaisuutta hän kehitti yhdessä laskettaessa integraalien muodostaen siten perusteella matemaattisen analyysin. Ulkonäön Näiden calculi avasi uuden modernin ajan matemaattisessa maailmassa ja aiheutti uusien tieteenalojen tieteessä. Laajensi mahdollisuutta soveltaa matematiikan luonnontieteiden ja tekniikan.

peruskäsitteet

Differentiaalilaskenta perustuu peruskäsitteitä matematiikka. Ne ovat: reaaliluku, jatkuvuuden ja raja-toiminto. Jonkin ajan kuluttua ne ovat toteuttaneet modernin ilmeen ansiosta kiinteä ja differentiaalilaskenta.

Luomassa

Muodostumista differentiaalilaskenta muodossa sovellus, ja sitten tieteellisen menetelmän tapahtui ennen syntymistä USKOMUSJÄRJESTELMÄ, joka luotiin Nikolay Kuzansky. Hänen työnsä pidetään evoluution kehitystä antiikin tieteen tuomion. Huolimatta siitä, että filosofi itse ei ollut matemaatikko, hänen panoksensa kehittämiseen matemaattinen tiede on kiistaton. Cusa, yksi ensimmäisistä ulos huomioon aritmeettinen tarkimpina tiede, matematiikka laskemisesta ajan kyseenalaiseksi.

Antiikin matemaatikot universaali kriteerinä oli yksikkö, kun taas filosofi esitetään uudeksi toimenpiteenä ääretön palauttaa tarkkaa määrää. Tässä yhteydessä käännetystä edustus tarkkuutta matemaattisten tieteeseen. Tieteellistä tietoa, hänen mukaansa on jaettu järkevä ja älykäs. Toinen on tarkempi, mukaan tutkija, koska entinen on vain likimääräinen tuloksia.

ajatus

Perusajatus ja käsitteen ero hammaskiven liittyvän toiminnon pieni naapurustossa tiettyjä kohtia. Tämän vuoksi on tarpeen luoda matemaattisen laite toimisi tutkimuksia, joiden käytös pienessä naapurustossa pistettä asentaa lähelle käyttäytymistä lineaarikuvauksen tai polynomi. Tämän määritelmän perusteella on johdannainen ja ero.

Syntyminen käsitteen johdannainen aiheutti paljon ongelmia luonnon ja matematiikan, joka johti määrittämiseksi raja-arvojen samaa tyyppiä.

Yksi tärkeimmistä tehtävistä, jotka on annettu esimerkkinä, alkaen vanhimmista koululuokat, on määrittää nopeus liikkeen pisteen suorassa linjassa ja rakentaminen tangentin tämän käyrän. Ero liittyy tähän, koska on mahdollista lähentää toiminto pieni naapurustossa pisteen lineaarinen funktio.

Verrattuna käsitteen johdannainen funktiona todellinen muuttuja, määritelmä erot yksinkertaisesti välittää tehtävän yleistä luonnetta, erityisesti kuva euklidisen tilasta toiseen.

johdannainen

Anna piste liikkuu suuntaan y-akselin, että aika ottaa x, joka on mitattu alusta hetki. Kuvaavat tällainen liike on mahdollista funktio y = f (x), joka on liitetty kunakin ajankohtana x-koordinaatti siirrettävissä kohta. Tämä toiminto soittaa mekaniikassa ottamaan lakia liikkeen. Tärkein ominaisuus liikkeen, erityisesti epätasainen, on hetkellinen nopeus. Kun piste on siirretty pitkin Y-akselia lain mukaan mekaniikan, satunnainen aika vaiheessa se hankkii koordinaatti x f (x). Aika pisteessä x + Ah, jossa Ah edustaa lisäys ajan, se kordinaty f (x + Ah). Näin muodostunut kaavan Ay = f (x + Ah) - f (x), jota kutsutaan lisäys toiminto. Se on kohta reitin kulki aikana x: stä x + Ah.

Yhteydessä esiintyminen nopeus aikaan johdannainen annetaan. Johdannainen minkä tahansa funktion kiintopiste kutsutaan raja (olettaen, että se on olemassa). Sitä voidaan kutsua tiettyjä merkkejä:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Prosessi, jossa lasketaan johdannaisen puhelun erilaistumista.

Differentiaalilaskentaa tehtäviä useita muuttujia

Tätä menetelmää sovelletaan laskettaessa toiminto tutkimus, useita muuttujia. Kun on olemassa kaksi muuttujat x ja y, osittainen derivaatta x pisteessä A on nimeltään johdannainen tämän toiminnon x kiinteän y.

Voidaan ilmoittaa seuraavilla symboleilla:

f '(x) (x, y), U' (x), ∂u / ∂x ja ∂f (x, y) '/ ∂x.

vaadittavat taidot

Jotta onnistuneesti oppia ja pystyä ratkaisemaan diffury vaaditut taidot integraatio ja eriyttäminen. Jotta olisi helpompi ymmärtää differentiaaliyhtälöt, on ymmärrettävä aiheen johdannainen ja epämääräinen kiinteä. Ei myöskään loukkaantunut opetella etsimään johdannainen implisiittinen funktio. Tämä johtuu siitä, että oppimisprosessi käyttävät usein integraaleja ja erilaistumista.

Tyyppisiä differentiaaliyhtälöiden

Lähes kaikki ohjaus liittyvät työt ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön, on 3 eri yhtälöitä: homogeeninen, jossa on erotettavissa muuttujia, lineaarinen epähomogeeninen.

Myös harvinaisia lajeja yhtälöiden yhteensä eroja, Bernoullin yhtälö, ja toiset.

Fundamentals ratkaisut

Aluksi on syytä muistaa, on algebrallinen yhtälö kurssia. Ne sisältävät muuttujat ja numeroita. Ratkaistakseen perinteisen yhtälö pitäisi löytää paljon numeroita, jotka täyttävät määritetyn ehdon. Tyypillisesti nämä yhtälöt on yksi juuri, ja validointi tulisi vain korvata tämä arvo paikoilleen tuntematon.

Differentiaaliyhtälö on samanlainen kuin tämä. Yleensä, yhtälö ensimmäisen kertaluvun käsittää:

• Riippumaton muuttuja.
• Johdannainen, ensimmäinen funktio.
• Toiminto tai riippuva muuttuja.

Joissakin tapauksissa ei välttämättä ole yksi tuntematon, x- tai y, mutta se ei ole niin tärkeää, koska se on välttämätöntä, että ensimmäinen derivaatta, joilla ei ole korkeamman asteen johdannaisten liuokseen ja differentiaalilaskenta paikkansa.

Ratkaista differentiaaliyhtälö - se tarkoittaa löytää joukko kaikki toiminnot, jotka ovat sopivia tietyn ilmaisu. Sellaiset sarjat toimintoja kutsutaan usein yleinen ratkaisu valvontaa.

integraalilaskentaa

Integraalilaskentaa on yksi osa matemaattisen analyysin, jossa tarkastellaan käsite kiinteä, ominaisuuksia ja menetelmiä sen laskenta.

Usein integraalin laskeminen tapahtuu laskettaessa alue kaarevan muodon. Tällä tarkoitetaan raja-alueen, jota kohti ennalta määrätylle alueelle piirretyn monikulmion muoto nostaen asteittain kädessään, ja datapuolen voidaan tehdä vähemmän kuin mikään aiemmin määritelty mielivaltaisen pieneen arvoon.

Pääajatusta laskettaessa alueen minkä tahansa geometrisen muodon laskee alueen suorakulmion, niin on olemassa näyttöä siitä, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin tuotteen pituus leveys. Kun se tulee geometria, sitten kaikki rakenteet on valmistettu käyttäen hallitsija ja kompassi, ja sitten pituuden suhde leveyteen on järkevä arvo. Laskettaessa alueen suorakulmaisen kolmion voidaan määrittää, että jos laittaa seuraavaksi kolmio, suorakulmio muodostuu. Alueella ovat kulloin- kin laskettu samanlainen, mutta hieman monimutkaisempi menetelmä, suorakulmion sisällä ja kolmio. Alalla monikulmion pitävät kolmioita sisällytetty siihen.

Määritettäessä armoilla mielivaltainen, tämä menetelmä ei sovi käyrä. Jos me murtaa se yksittäisiksi neliöitä, se jää täyttämättä paikkaa. Tässä tapauksessa, yritä käyttää kaksi kerrosta, jossa suorakulmioita ylä- ja alapuolella, seurauksena ne sisältävät funktion kuvaajan eikä sisällä. Tärkeää tässä keino murtaa nämä suorakulmioita. Lisäksi, jos otamme tauko yhä vähentää, alueen ylä- ja alaosasta pitäisi lähentyä tiettyyn arvoon.

Sen pitäisi palata menetelmään erottamiseksi suorakulmioita. On kaksi suosittua menetelmiä.

Riemannin oli laadittu määritelmä kiinteä luoma Leibniz ja Newton, koska alue aligraafia. Tässä tapauksessa, me pitää luku, joka koostuu tietty määrä pystysuoria suorakaiteen saadaan jakamalla välein. Kun karkaa väheneminen on olemassa raja, johon vähentää ala tällaisen kuvion, tämä rajaa kutsutaan Riemannin integraali funktion tietyn ajan.

Toinen menetelmä on rakentaa Lebesgue kiinteä, joka koostuu siitä, että siinä paikassa erottaminen nimetyn alueen osa integroitava ja koota sitten kiinteä summa saatujen arvojen näissä osissa, välein jaettu sen arvoalueella, ja sitten summataan vastaavien toimenpiteiden käänteinen kuvia näistä integraaleja.

moderni apuvälineet

Yksi tärkeimmistä eduista tutkimiseen differentiaali- ja integraalilaskennan perusteet Fikhtengol'ts kirjoitti - "erosta ja integraalilaskenta." Hänen oppikirja on keskeinen työkalu tutkittaessa matemaattisen analyysin, joka kesti monta jaksoa ja käännöksiä muille kielille. Luotu opiskelijoille ja pitkään käytetty erilaisissa oppilaitoksissa yhtenä tärkeimmistä eduista tutkimuksessa. Se antaa teoreettista tietoa ja käytännön taitoja. Julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1948.

Algoritmitutkimus toiminto

Tutkia menetelmiä erosta calculus, sinun täytyy seurata on jo antanut algoritmi:

1. Etsi funktion alue.
2. Etsi juuret annettu yhtälö.
3. Laske ääripäät. Voit tehdä tämän, laskemme johdannais- ja kohdassa, jossa se on nolla.
4. Sijoitetaan saatu arvo yhtälössä.

Lajikkeiden differentiaaliyhtälöiden

Ohjaus ensimmäisen kertaluvun (muuten differentiaalilaskenta yhden muuttujan) ja niiden tyyppejä:

• Erotettavissa muuttujat yhtälö: f (y) dy = g (x) dx.
• Yksinkertaisin yhtälö tai ero funktioista yhden muuttujan, joilla on kaava: y '= f (x).
• Lineaarisen ensimmäisen asteen epätasainen ohjaus: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoullin differentiaaliyhtälö: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Yhtälön yhteensä erot kanssa: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Ero yhtälöt toisen asteen ja niiden tyypit:

• Homogeenista, lineaarista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ^{vakiokertoimiset: y n + py '+ qy} = 0 p, q kuuluu R.
• Epähomogeeninen lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön vakiokertoimiset ^{arvo: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeeninen lineaarinen ^{differentiaaliyhtälö: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, ja epähomogeeninen toisen asteen ^{yhtälö: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differentiaaliyhtälöt korkeamman tilausten ja niiden tyypit:

• Differentiaaliyhtälö, joka mahdollistaa vähentämisen ^{järjestyksessä: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Lineaarinen yhtälö korkeamman asteen ^{_{homogeenisen: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, ja ^{_{epähomogeeninen: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Vaiheissa ongelman ratkaisemiseksi differentiaaliyhtälön

Avulla kaukosäätimen ratkaistaan paitsi matematiikan tai fyysisiä ongelmia, mutta myös erilaisia ongelmia biologian, taloustieteen, sosiologian ja muut. Huolimatta useista eri aiheista, tulisi noudattaa yhden loogisen sekvenssin näiden ongelmien ratkaisemiseksi:

1. Laatimisen ohjaus. Yksi vaikeimmista vaiheista, joka vaatii suuren tarkkuuden, koska mitään virhettä johtaa täysin vääriä tuloksia. On otettava huomioon kaikki tekijät, jotka vaikuttavat prosessiin ja määritellä alkuehdot. Olisi myös perustua tosiasioihin ja loogisia päätelmiä.
2. Ratkaista yhtälöt. Tämä prosessi on helpompi ensimmäinen piste, koska se vaatii vain tiukka soveltaminen matemaattisia laskelmia.
3. Analysointi ja tulosten arviointi. Johdettu ratkaisu olisi arvioitava asennukseen käytännön ja teoreettinen arvo tuloksen.

Esimerkiksi käytön differentiaaliyhtälöt lääketieteessä

Käyttämällä kaukosäädintä lääketieteen alalla löytyy rakentamiseen epidemiologisen matemaattisen mallin. Meidän ei pidä unohtaa, että nämä yhtälöt löytyy myös biologian ja kemian, jotka ovat lähellä lääkettä, koska se on tärkeä rooli tutkimuksen eri biologisten populaatioiden ja kemiallisia prosesseja ihmiskehossa.

Tässä esimerkissä, epidemian infektion leviämistä voidaan käsitellä eristetty yhteisössä. Asukkaat on jaettu kolmeen tyyppiin:

• Tartunnan, lukumäärä x (t), joka koostui yksilöiden, tarttuvan kantajia, joista kukin on tarttuva (itämisaika on lyhyt).
• Toinen tyyppi sisältää herkkiä yksilöitä y (t), voidaan tartunnan kosketuksissa saastuneiden.
• Kolmas tyyppi sisältää tulenkestävää yksilöiden z (t), jotka ovat immuuneja tai kadota sairauden.

Yksilöiden lukumäärä jatkuvasti, pitää syntymä, luonnolliset kuolemat ja muuttoliike ei pidetä. Ytimessä on kaksi hypoteesia.

Prosenttia tauti joskus piste on yhtä kuin x (t) y (t) (perustuu oletukseen teoriaan, että tapausten määrä suhteessa määrä risteyksiä potilaiden välillä ja reagoiva jäsentä, joka ensimmäisessä approksimaatiossa on verrannollinen x (t) y (t)), ja Näin ollen tapausten määrä kasvaa, ja tartunnalle alttiiden laskee nopeudella, joka on laskettu seuraavan kaavan ax (t) y (t) (a> 0).

Joukko ei-vastetta eläimillä, jotka kuolivat tai hankittu immuniteetti, kasvoi nopeudella, joka on verrannollinen tapausten määrä, bx (t) (b> 0).

Seurauksena voi perustaa yhtälöryhmä kaikki kolme indikaattoria perusteella päätelmänsä.

Esimerkki käyttö talouden

Differentiaalilaskenta käytetään usein taloudellinen analyysi. Päätehtävä taloudellisessa analyysissä pidetään tutkimuksen arvojen taloutta, joka kirjataan muodostaisi funktion. Sitä käytetään ratkaisemaan ongelmia, kuten tulojen muutoksista veronkorotuksia heti, pääsymaksut, tulojen muutoksia vaihdettaessa tuotteen arvosta, missä suhteessa voidaan korvata eläkkeelle työntekijät uusilla laitteilla. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi, sen on rakentaa viestinnän toiminnon saapuvan muuttujien, joka, sen jälkeen kun tutkitaan differentiaalilaskenta.

Talouden alalla on usein löydettävä optimaaliset indikaattorit: työn tuottavuus, korkeimmat tulot, alhaisimmat kustannukset ja niin edelleen. Jokainen tällainen indikaattori on yhden tai useamman argumentin funktio. Esimerkiksi tuotantoa voidaan pitää työn ja pääoman tuoton funktiona. Tässä yhteydessä sopivan arvon löytäminen voidaan pienentää funktion maksimi- tai vähimmäisarvon löytämiseksi yhdestä tai useammasta muuttujasta.

Tällaiset ongelmat aiheuttavat äärimmäisten ongelmien luonteen talouden alalla, mihin tarvitaan differentiaalilaskenta. Kun taloudellinen indikaattori on minimoitava tai maksimoitava toisen indikaattorin funktiona, silloin maksimipisteen funktion lisäyksen suhde argumentteihin nollautuu, jos argumentin lisäys on nolla. Muussa tapauksessa, kun tällainen asenne pyrkii olemaan jotain positiivista tai negatiivista arvoa, määritetty piste ei ole sopiva, koska argumentin lisäämisellä tai vähentämisellä on mahdollista muuttaa riippuva arvo tarvittavaan suuntaan. Differentiaalilaskennan terminologiassa tämä tarkoittaa, että vaadittu ehto funktion maksimiarvolle on sen johdannaisen nolla-arvo.

Taloudellisissa tilanteissa on usein ongelmia, joiden avulla voidaan löytää useampi muuttuja, koska taloudellinen indikaattori koostuu monista tekijöistä. Samankaltaisia kysymyksiä tutkitaan hyvin erilaisten muuttujien teorian funktiona, jotka soveltavat erilaisen laskennan menetelmiä. Tällaisiin tehtäviin kuuluvat paitsi maksimoidut ja minimoitavat toiminnot, myös rajoitukset. Samankaltaiset kysymykset liittyvät matemaattiseen ohjelmointiin, ja ne ratkaistaan erityisellä tavalla kehitetyillä menetelmillä, jotka perustuvat myös tähän tieteen osaan.

Taloustieteessä käytettävien differentiaalilaskentamenetelmien joukossa on tärkeä osa marginaalinen analyysi. Talousalalla tämä termi viittaa erilaisiin menetelmiin muuttuvien indikaattoreiden ja tulosten tutkimiseksi, kun ne muuttavat luomisen ja kulutuksen volyymit raja-arvojen perusteella. Rajoittava indeksi on johdannaiset tai osittaiset johdannaiset, joilla on useita muuttujia.

Useiden muuttujien differentiaalilaskenta on tärkeä aihe matemaattisen analyysin kentältä. Yksityiskohtaista tutkimusta varten voidaan käyttää erilaisia opetusvälineitä korkeakouluille. Yksi kuuluisimmista Fichtenholzista - "Differentiaalisen ja integraalilaskennan kulku". Kuten nimestä ilmenee, integraalien kanssa työskentelevät taidot ovat erittäin tärkeitä erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Kun yhden muuttujan funktion differentiaalilaskenta tapahtuu, ratkaisu muuttuu yksinkertaisemmaksi. Vaikka onkin huomattava, se noudattaa samoja perussääntöjä. Toiminnan harjoittamiseksi differentiaalilaskelmassa riittää seurata jo olemassa olevaa algoritmia, joka on annettu ylemmän tason kouluissa, ja se on vain hieman monimutkaista, kun uusia muuttujia syötetään.