Lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun. esimerkkejä ratkaisuista

Mielestäni meidän pitäisi aloittaa historian kunniakas matemaattinen työkalu differentiaaliyhtälöitä. Kuten kaikki differentiaali- ja integraalilaskenta, nämä yhtälöt keksittiin Newton myöhään 17-luvulla. Hän uskoi se oli hänen löytö niin tärkeä, että jopa salatun viestin, joka nykyään voidaan kääntää seuraavasti: "Kaikki luonnonlait kuvannut differentiaaliyhtälöitä." Se voi tuntua liioittelua, mutta se on totta. Tahansa fysiikan laki, kemia, biologia, voidaan kuvata nämä yhtälöt.

Valtava panosta ja perustamalla teorian differentiaaliyhtälöiden on matematiikka Euler ja Lagrange. Jo 18-luvulla he löytänyt ja kehittänyt mitä nyt opiskelee vanhempi yliopistokursseja.

Uusi virstanpylväs tutkimuksessa differentiaaliyhtälöiden alkoi kiitos Anri Puankare. Hän loi "laadullinen teoria differentiaaliyhtälöiden", joka yhdistettynä teorian tehtäviä monimutkaisia muuttujia vaikuttaneet merkittävästi perusta topologia - Avaruustieteen ja sen ominaisuuksista.

Mitkä ovat differentiaaliyhtälöt?

Monet ihmiset pelkäävät lause "differentiaaliyhtälö". Kuitenkin tässä artikkelissa esitetään yksityiskohtaisesti pohjimmiltaan tämä erittäin hyödyllinen matemaattinen työkalu, joka ei oikeastaan ole niin monimutkainen kuin miltä se näyttää otsikosta. Voidakseen ryhtyä puhumaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, sinun on ensin perehtyä peruskäsitteisiin, jotka luonnostaan liittyvät tähän määritelmään. Ja me aloitamme ero.

ero

Monet ihmiset tietävät tämän termin lukion jälkeen. Kuitenkin edelleen vatvoa sitä yksityiskohtaisesti. Kuvitella funktion kuvaaja. Voimme lisätä sitä niin paljon, että sen segmentin tulee suorassa linjassa. Kestää kaksi pistettä, jotka ovat äärettömän lähellä toisiaan. Ero niiden koordinaatit (x tai y) on häviävän pieni. Ja sitä kutsutaan ero ja merkkejä nimeämään dy (ero y) ja dx (tasauspyörästön x). On tärkeää ymmärtää, että ero ei ole lopullinen arvo, ja tämä on merkitys ja päätehtävä.

Ja nyt sinun on otettava huomioon seuraavat seikat, jotka meidän on selitettävä differentiaaliyhtälön käsite. Se - johdannainen.

johdannainen

Kaikki meistä on kuullut koulussa ja tätä käsitystä. He sanovat, että johdannainen - on kasvuvauhtia tai lasku toiminto. Tämä määritelmä muuttuu sekava. Pyrkikäämme selittää johdannainen ehtojen erot. Mennään takaisin infinitesimaalisen toiminto kaksi pistettä, jotka sijaitsevat vähintään etäisyyden päässä toisistaan. Mutta jopa pidemmälle matka-toiminto on aika vaihtaa jotain arvoa. Ja kuvaamaan, että muutos ja keksiä johdannainen, joka muutoin kirjoitetaan suhde erot: f (x) = df / dx.

Nyt on tutkittava perusominaisuudet johdannaisen. On vain kolme:

1. Johdannainen eroa tai summaa voidaan esittää summan tai erotuksen johdannaisista: (a + b) '= a' + b 'ja (ab)' = a'-b'.
2. Toinen ominaisuus liittyy kertolasku. Johdannaistuotteita - on summa teoksia toiminnosta toiseen johdannainen: (a * b) '= a' * b + a * b'.
3. Johdannainen ero voidaan kirjoittaa seuraava yhtälö: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Kaikki nämä ominaisuudet ovat käteviä löytää ratkaisuja differentiaaliyhtälöiden ensimmäisen kertaluvun.

Lisäksi on olemassa osittaisia johdannaisia. Oletetaan, että meillä funktio z, joka riippuu muuttujat x ja y. Laskea osittainen johdannainen tämän toiminnon, esimerkiksi, x, meidän täytyy ottaa muuttujan y jatkuvasti ja helppo erottaa.

olennainen

Toinen tärkeä käsite - kiinteä. Itse asiassa se on päinvastainen johdannainen. Integraalit olemassa useita erilaisia, mutta yksinkertaisin ratkaisuja differentiaaliyhtälöitä, tarvitsemme kaikkein triviaaleja toistaiseksi integraalin.

Joten, mikä on olennainen? Sanotaan meillä on joitakin suhde f x. Otamme sen integraali ja saada funktio F (x) (se on usein kutsutaan primitiivinen), joka on johdannainen alkuperäisen toiminnon. Näin ollen F (x) = f (x). Tämä merkitsee myös sitä, että integraali johdannainen on yhtä suuri kuin alkuperäisen toiminnon.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa on erittäin tärkeää ymmärtää merkityksen ja toiminta kiinteä, koska hyvin usein ottaa ne löytää ratkaisuja.

Yhtälöt ovat erilaisia riippuen niiden luonteesta. Seuraavassa osiossa tarkastellaan tyyppisiä ensimmäisen asteen yhtälön ja sitten oppia ratkaisemaan niitä.

Luokat differentiaaliyhtälöiden

"Diffury" jaettuna järjestyksessä johdannaisten mukana niitä. Näin on ensimmäinen, toinen, kolmas tai enemmän järjestyksessä. Ne voidaan myös jakaa useisiin luokkiin: tavallinen ja osittainen.

Tässä artikkelissa, harkitsemme differentiaaliyhtälöitä ensimmäisen tilauksen. Esimerkit ja ratkaisut keskustelemme seuraavissa osissa. Pidämme vain TAC, koska se on yleisin tyyppisiä yhtälöitä. Tavallinen jaettu alalajeihin: erotettavissa muuttujat, homogeeninen ja heterogeeninen. Seuraavaksi opit miten ne eroavat toisistaan, ja oppia ratkaisemaan niitä.

Lisäksi nämä yhtälöt voidaan yhdistää, niin että sen jälkeen saamme differentiaaliyhtälön ensimmäisen kertaluvun. Tällaiset järjestelmät, myös tarkastella ja oppia ratkaisemaan.

Miksi pohdimme vain ensimmäisen tilauksen? Koska on välttämätöntä aloittaa yksinkertaisen ja kuvata kaikki liittyvät differentiaaliyhtälöt, yhdessä artikkeli on mahdotonta.

Yhtälöt erotettavissa muuttujien

Tämä on ehkä kaikkein yksinkertainen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt. Nämä ovat esimerkkejä, jotka voidaan kirjoittaa: y '= f (x) * f (y). Ratkaista tämä yhtälö tarvitsemme esitys kaava johdannaisen suhde erot: y '= dy / dx. Se saadaan yhtälöstä: dy / dx = f (x) * f (y). Nyt voimme kääntää menetelmän ratkaista standardin esimerkkejä: erottaa muuttujat osat eli pikakelaus kaikki muuttuvat y kohdassa, jossa on dy, ja myös muuttujan x ... Saadaan yhtälö, joka on muotoa: dy / f (y) = f (x) dx, joka saavutetaan ottamalla integraalit kaksi osaa. Älä unohda vakio, jonka haluat laittaa integroinnin jälkeen.

Ratkaisu mitään "diffura" - on funktio x y (tässä tapauksessa), tai jos on numeerinen kunnossa, vastaus on numero. Tarkastellaan konkreettinen esimerkki koko kurssin päätöksen:

y = 2y * sin (x)

Siirrä muuttujat eri suuntiin:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Ota nyt integraalit. Kaikki ne löytyvät erityisen taulukon integrals. Ja saamme:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Tarvittaessa voimme ilmaista "y" funktiona "X". Nyt voimme sanoa, että meidän ero yhtälö ratkaistaan, jos ei sovitussa kunnossa. Voidaan määrittää ehto, esimerkiksi, y (n / 2) = e. Silloin me yksinkertaisesti korvata arvon näiden muuttujien päätöksessä ja löytää Vakion arvo. Tässä esimerkissä se on 1.

Homogeeninen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön

Nyt on monimutkaisempia osia. Homogeeninen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa: y '= z (x, y). On huomattava, että oikeus tehtävä kaksi muuttujaa on yhtenäinen, ja sitä ei voida jakaa kahteen riippuen: Zx ja Zy y. Onko yhtälö on homogeeninen tai ei, on varsin yksinkertainen: teemme vaihdosta x = k * x ja y = k * y. Nyt leikataan kaikki k. Jos nämä kirjaimet pudotetaan, niin yhtälö homogeeninen ja voi turvallisesti edetä sen ratkaisu. Katse eteenpäin, me sanomme: periaate ratkaisun Näiden esimerkkien on myös hyvin yksinkertainen.

Meidän täytyy tehdä vaihdon: y = t (x) * x, jossa t - funktio, joka riippuu myös X. Voimme ilmaista johdannainen: y '= t' (x) * x + t. Korvaamalla kaikki tämä meidän alkuperäinen yhtälö ja yksinkertaistamiseksi, meillä on esimerkki erottaminen muuttujien t kuin x. Ratkaisemiseksi ja saada riippuvuus t (x). Kun saimme sen, yksinkertaisesti korvata aiempi sijoitus y = t (x) * X. Silloin saadaan riippuvuus arvon X.

Sen selkeyttämiseksi, me ymmärrämme esimerkki: x * y '= yx * e y / x.

Kun tarkkailun korvaaminen kaikkien vähenemässä. Niin yhtälö on todella homogeeninen. Nyt tee uusi vaihdon, puhuimme: y = t (x) * x ja y '= t' (x) * x + t (x). Jälkeen yksinkertaistaminen seuraavalla yhtälöllä: t '(x) * x = -e t. Päätämme saada näyte erotettu muuttujia ja ^{saamme: e -t = ln (C *} X). Meidän täytyy vain korvata t y / x (koska jos y = t * x, niin T = y / x), ja saamme ^{vastauksen: E-y / x = ln (} x * C).

Lineaarinen differentiaaliyhtälö ensimmäisen kertaluvun

On aika harkita toista laaja aihe. Tarkastelemme heterogeeninen ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt. Miten ne eroavat kahden edellisen? Totta puhuen. Lineaarinen ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöitä yleisen muodossa oleva yhtälö voidaan kirjoittaa näin: y '+ g (x) * y = z (x). On syytä täsmentää, että z (x) ja g (x) voi olla vakio-arvot.

Tässä esimerkki: y '- y * x = x ^2.

On kaksi tapaa ratkaista, ja tilaamme Tarkastellaan molempia. Ensimmäinen - menetelmä vaihtelun mielivaltaisia vakioita.

Ratkaista yhtälö tällä tavalla, on välttämätöntä rinnastaa ensimmäisen oikealla puolella nollaan, ja ratkaista tuloksena yhtälö, joka siirron jälkeen osien tulee:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Nyt on tarpeen korvata vakio _C1 toiminnosta v (x), joka löydämme.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Piirrä korvaava johdannainen:

^{y '= v' * e x2} / ^2-x * v * e ^{x2 / 2.}

Ja korvaamalla nämä ilmaisut alkuperäiseen yhtälöön:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Voit nähdä, että vasemmassa reunassa kahta termiä vähenevät. Jos jotkut esimerkiksi niin ei tapahtunut, niin olet tehnyt jotain väärin. Jatkamme:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Nyt ratkaista tavanomaiset yhtälö, johon haluat erottaa muuttujat:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Poistaa kiinteä, meidän on sovellettava integraatiota osia tästä. Tämä ei kuitenkaan ole aihetta tämän artikkelin. Jos olet kiinnostunut, voit oppia omasta toteuttamaan tällaisia toimia. Se ei ole vaikeaa, ja tarpeeksi taitoa ja huolenpitoa ei ole aikaa vievää.

Viitaten Toisessa menetelmässä liuokseen, jossa oli epähomogeeninen yhtälöt: Bernoulli menetelmä. Mikä lähestymistapa on nopeampi ja helpompi - se on sinun.

Joten, kun ratkaista tätä menetelmää, meidän täytyy tehdä vaihdon: y = k * n. Täällä, k ja n - joitakin toimintoja riippuen x. Sitten johdannainen näyttää: y '= k' * n + k * n'. Korvata kaksi substituutioita yhtälöllä:

k '* n + k * n ' + x * k * n = x ^2.

Ryhmä up:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Nyt on tarpeen rinnastaa nolla, joka on suluissa. Nyt, jos yhdistää kaksi tuloksena yhtälöt, saamme järjestelmän ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä voidaan ratkaista:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Ensimmäinen tasa päättää tavallista yhtälö. Voit tehdä tämän, sinun täytyy erottaa muuttujat:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Otamme olennainen ja saadaan: ln (n) = x ^2/2. Sitten, jos annamme n:

n = e ^{x2 / 2.}

Nyt korvata tuloksena yhtälö toiseen yhtälöön:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Ja muuntamiseen, saadaan sama yhtälö kuin ensimmäisessä menetelmässä:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Emme myöskään keskustelisi lisätoimista. Sanotaan, että ensin ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisu aiheuttaa huomattavia vaikeuksia. Kuitenkin syvempi upottamalla aihe on alkanut saada paremmin ja paremmin.

Jossa ovat differentiaaliyhtälöt?

Erittäin aktiivinen differentiaaliyhtälöt käytetään fysiikan, sillä lähes kaikki perus lait on kirjoitettu ero muodossa, ja ne kaavat, että näemme - ratkaisun näihin yhtälöihin. Kemian, niitä käytetään samasta syystä: peruslait ovat peräisin niiden kautta. Biologiassa, differentiaaliyhtälöt käytetään mallintaa järjestelmien, kuten peto - saalis. Niitä voidaan myös käyttää luomaan malleja lisääntymiseen, esimerkiksi mikro-organismien pesäkkeet.

Kuten differentiaaliyhtälöt auttaa elämään?

Vastaus tähän kysymykseen on yksinkertainen: ei mitään. Jos et ole tiedemies tai insinööri, on epätodennäköistä, että ne ovat hyödyllisiä. Kuitenkin, ei satu tietää, mitä differentiaaliyhtälön ja se ratkaistaan yleisestä kehittämisestä. Ja sitten kysymys poikia ja tyttäriä, "mikä ero yhtälö?" älä laita sinut umpikujaan. No, jos olet tiedemies tai insinööri, niin tiedät, kuinka tärkeä tämä aihe tahansa tieteessä. Mutta mikä tärkeintä, että nyt kysymykseen "miten ratkaista differentiaaliyhtälö ensimmäisen tilauksen?" voit aina pystyä antamaan vastaus. Samaa mieltä, se on aina mukavaa kun tajuaa, että mitä ihmiset pelkäävät jopa selvittää.

Suurimpia ongelmia tutkimuksessa

Suurin ongelma ymmärtämään tämä aihe on paha tapa integraatio ja eriyttäminen toimintoja. Jos et halua VASTAAT johdannaisia ja integraaleja, on todennäköisesti arvokkaampi oppia, oppia eri menetelmiä integraation ja erilaistumista ja vasta sitten edetä tutkimuksen aineisto, joka on kuvattu artikkelissa.

Jotkut ihmiset ovat hämmästyneitä siitä, että DX voidaan siirtää, kuten aiemmin (koulussa) väitti, että osa dy / dx on jakamaton. Sitten sinun täytyy lukea kirjallisuutta johdannaisen ja ymmärtää, että se on asenne äärettömän pieniä määriä, jotka voidaan manipuloida Yhtälöiden.

Monet ihmiset eivät heti ymmärtää, että ratkaisu differentiaaliyhtälöiden ensimmäisen kertaluvun - tämä on usein tehtävä tai neberuschiysya kiinteä, ja tämä harhaluulot antaa heille paljon vaivaa.

Mitä muuta voidaan tutkia ymmärtämään?

Se on parasta aloittaa edelleen upottamalla maailmaan erosta calculus erikoistuneiden oppikirjoja, esimerkiksi matemaattinen analyysi opiskelijoille kuin matemaattisia erikoisuuksia. Voit sitten siirtyä enemmän erikoistunut kirjallisuuden.

Sanotaan, että lisäksi ero on vielä kiinteä yhtälöt, joten sinulla on aina jotain pyrkiä ja mitä opiskella.

johtopäätös

Toivomme, että kun luet tämän artikkelin sinulla on käsitys siitä, mitä differentiaaliyhtälöiden ja miten ratkaista ne oikein.

Joka tapauksessa, matematiikka mitenkään meille hyötyä elämässä. Se kehittää logiikka ja huomiota, jota ilman kaikki ihmiset, sillä ilman käsiä.