Johdannaiset numerot: lasketaan menetelmät ja esimerkit

Ehkä käsite johdannainen on tuttua meille kaikille lukion jälkeen. Yleensä opiskelijat on vaikeuksia ymmärtää tämä on epäilemättä erittäin tärkeä asia. Sitä käytetään aktiivisesti eri aloilla ihmisten elämää, ja monet insinööri perustuivat nimenomaan matemaattisia laskelmia saatu johdannainen. Mutta ennen kuin siirryt analyysi mikä on johdannainen numerot kuin ne laskevat ja missä ne on kätevä, kaivaa hieman historiaan.

tarina

Käsite johdannainen, joka on perusta matemaattisen analyysin, oli auki (jopa parempi sanoa "keksitty", koska se on sinänsä ei esiinny luonnossa) Isaakom Nyutonom, jotka me kaikki tiedämme löytö painovoimalakia. Juuri hän ensimmäisenä käytti tätä käsitettä fysiikan sitovuudesta nopeus ja kiihtyvyys elimissä. Ja monet tutkijat silti kiitosta Newton tästä upeasta keksintö, sillä itse asiassa hän keksi perusteella differentiaali- ja integraalilaskennan perusteet, tosiasiallisen perustan koko alan matematiikka nimeltään "matemaattinen analyysi". Onko silloin Nobelin, Newton todennäköisesti olisi saanut sitä muutaman kerran.

Ei ilman muita suuria mieliä. Lisäksi Newtonin kehittämiseen johdannais- ja kiinteä työskennelleet johtaviin neroja matematiikan Leonhard Euler, Lagrange ja Louis Gotfrid Leybnits. On heidän ansiotaan, meillä on teoria erosta calculus siinä muodossa, jossa se esiintyy tänäkin päivänä. Muuten, tämä on Leibniz löysi geometrinen merkitys johdannaisen, joka ei ollut mitään muuta kuin tangentin kulmakerroin on funktion kuvaaja.

Mikä on johdannainen numeroita? Bittinen toistaa mitä tapahtui koulun.

Mikä on johdannainen?

Määriteltävä tämä käsite useilla eri tavoilla. Yksinkertaisin selitys: Johdannaiset - se on muutosnopeus toiminnon. Edustavat kuvaaja tahansa funktio y x. Jos se ei ole suora, se on jonkin verran käyrät kaaviossa, jaksot nousu ja lasku. Jos otat infinitesimaalisen aikataulun, se on suora viiva segmentti. Niin, suhde koko äärettömän segmentin y koko x-koordinaatti, ja on johdannainen funktion tietyssä vaiheessa. Jos ajatellaan toimivat kokonaisuutena sen sijaan, että tietyssä kohdassa, saadaan funktio johdannaisen, eli tietyt riippuvuutta Xy.

Lisäksi, lukuun ottamatta fyysinen merkitys johdannainen funktiona muutosnopeus, on myös geometrinen mielessä. Se, keskustelemme nyt.

Geometrinen merkitys

Johdannaiset numerot ovat itse tietty määrä, joka ei ole oikein ymmärtämiseksi ei kanna mitään merkitystä. On käynyt ilmi, että johdannainen ei ole vain osoittaa kasvun tai pienentää toiminto, ja kulmakerroin tangentin funktion kuvaaja tässä vaiheessa. Ei ole täysin selvää määritelmää. Tarkastellaan sitä yksityiskohtaisesti. Oletetaan, että meillä funktion kuvaajan (ottaa korkokäyrän). Se on ääretön määrä pisteitä, mutta on alueita, joilla vain yhden pisteen on suurin tai pienin. Minkä tahansa tällaisen pisteen, voi vetää suoraa linjaa, joka olisi kohtisuorassa funktion kuvaaja tässä vaiheessa. Tämä linja on kutsuttava tangentti. Oletetaan pidimme sen jopa leikkaa akselin OX. Näin saatu tangentin ja akselin OX ja kulma määräytyy johdannainen. Tarkemmin tangentti tämä kulma on yhtä suuri kuin se.

Puhutaanpa hieman myös erityistapauksissa ja johdannaiset Tarkastellaan numerot.

erityistapauksissa

Kuten olemme jo maininneet, johdannaisia numerot - johdannaisen arvo tietyssä pisteessä. Tässä esimerkiksi, ottaa funktio y = x ^2. Derivaatta x - numerot, mutta yleensä - toiminto yhtä suuri kuin 2 * x. Jos meidän täytyy laskea johdannainen, esimerkiksi, pisteessä x ₀ = 1, saadaan y '(1) = 2 * 1 = 2. Se on hyvin yksinkertaista. Mielenkiintoinen tapaus on johdannainen kompleksiluvun. Mennä yksityiskohtaisen selvityksen siitä, mitä kompleksiluvun, emme. Riittää, kun sanon, että tämä luku, joka sisältää ns imaginääriyksikköä - määrä, jonka neliö on yhtä kuin -1. Laskettaessa tämä johdannainen on mahdollista vain seuraavissa olosuhteissa:

1) on oltava ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat reaali- ja imaginaariosan y ja X

2) ehdot Cauchyn-Riemannin liittyy tasa osittain kuvattu ensimmäisessä kohdassa.

Toinen mielenkiintoinen tapaus, vaikka ei niin monimutkainen kuin edellinen, on johdannainen negatiivinen luku. Itse asiassa, kaikki negatiiviset luvut voidaan esittää positiivisena, kerrottuna -1. No, johdannainen ja jatkuva toiminta sama kuin vakio kerrottuna johdannainen toiminnon.

On mielenkiintoista oppia roolista johdannaisten jokapäiväisessä elämässään, ja tämä on nyt ja keskustella siitä.

hakemus

Luultavasti jokainen meistä ainakin kerran elämässä kiinni itse ajatella, että matematiikka on todennäköisesti ole hyötyä hänelle. Ja näin monimutkaisen asia kuin johdannainen luultavasti ei ole käyttöä. Itse asiassa, matematiikka - perustavanlaatuinen tiede, ja kaikki sen hedelmät kehittyy pääasiassa fysiikan, kemian, tähtitieteen ja jopa taloutta. Johdannainen alkoi matemaattisen analyysin, joka antoi meille mahdollisuuden tehdä johtopäätöksiä funktioiden kuvaajia, ja olemme oppineet tulkitsemaan luonnonlakien ja muuttaa ne edukseen sen takia.

johtopäätös

Tietenkään kaikki eivät voi olla hyödyllistä johdannainen tosielämässä. Mutta matematiikka kehittää logiikkaa, joka varmasti tarvitsee. Ei mitään, koska matematiikan kutsutaan kuningatar Sciences: se koostuu perustiedot muut tiedon.