Harmonisten värähtelyjen yhtälö ja sen merkitys värähtelyprosessien luonteen tutkimisessa

Kaikilla harmonisen värähtelyillä on matemaattinen ilmentymä. Niiden ominaisuudet karakterisoivat joukon trigonometrisiä yhtälöitä, joiden monimutkaisuus määräytyy itse värähtelyprosessin monimutkaisuudesta, järjestelmän ominaisuuksista ja ympäristöstä, jossa ne esiintyvät eli ulkoisista tekijöistä, jotka vaikuttavat värähtelyprosessiin.

Esimerkiksi mekaniikka, harmoninen värähtely on liike, joka on ominaista:

- suoraviivainen luonne;

- epätasaisuus;

- fyysisen kehon liike, joka esiintyy sinimuotoisessa tai kosinusreitissä, mutta ajan funktiona.

Näiden ominaisuuksien perusteella voimme antaa harmonisen värähtelyn yhtälön, jolla on muoto:

X = cos ωt tai muoto x = A sin ωt, missä x on koordinaattiarvo, A on värähtelyn amplitudi ja ω on kerroin.

Tällainen harmonisten heilahtelujen yhtälö on perustavanlaatuinen kaikille harmonisille värähtelyille, joita pidetään kinetiikassa ja mekaniikassa.

Indeksiä ωt, joka tässä kaavassa on trigonometrisen funktion merkin alla, kutsutaan faasiksi ja se määrittää värähtelevän materiaalipisteen sijainnin tietyssä tiettynä ajanhetkenä tietyllä amplitudilla. Syklisiä värähtelyjä tarkasteltaessa tämä indeksi on 2n, se osoittaa mekaanisten värähtelyjen lukumäärän aikakaudella ja on merkitty w: llä. Tässä tapauksessa harmoninen heilahteluyhtälö sisältää sen syklisen (pyöreän) taajuuden arvon indikaattorina.

Kuten olemme jo todenneet, harmonisten heilahteluiden yhtälö voi olla erilaisia muotoja riippuen useista tekijöistä. Esimerkiksi tässä on vaihtoehto. Vapaan harmonisen värähtelyn differentiaaliyhtälön huomioon ottamiseksi on otettava huomioon se, että niillä kaikilla on vaimennus. Eri tyyppisissä värähtelyissä tämä ilmiö ilmenee eri tavoin: liikkuvan kappaleen pysäyttäminen ja säteilyn pysäyttäminen sähköjärjestelmissä. Yksinkertaisin esimerkki, joka osoittaa värähtelypotentiaalin vähenemistä, on sen muuttaminen lämpöenergiaksi.

Tässä kaavassa on yhtälö: d²s / dt² + 2β x ds / dt + ω²s = 0. Tässä kaavassa: s on tämän tai mainitun järjestelmän ominaisuuksista luonteenomaisen värähtelyn arvo, β on vakio, joka osoittaa vaimennuskerroin, ω on syklinen taajuus.

Tällaisen kaavan avulla voidaan lähestyä lineaaristen järjestelmien värähtelyprosessien kuvausta yhdestä näkökulmasta ja myös suunnitella ja mallintaa värähteleviä prosesseja tieteellisellä ja kokeellisella tasolla.

Esimerkiksi tiedetään, että vaimennetut värähtelyt niiden ilmenemismuodon lopullisessa vaiheessa eivät ole enää harmonisia, eli niiden taajuuden ja ajanjakson luokat ovat yksinkertaisesti merkityksettömiä eivätkä heijastu kaavassa.

Klassinen menetelmä harmonisten värähtelyjen tutkimiseksi on harmoninen oskillaattori. Yksinkertaisimmassa muodossaan se edustaa järjestelmää, joka kuvaa harmonisen heilahtelun tällaista differentiaaliyhtälöä: ds / dt + ω²s = 0. Mutta värähtelyprosessien vaihtelu johtaa luonnollisesti lukuisiin oskillaattoreihin. Me luetelemme tärkeimmät tyypit:

- jousioskillaattori - tavanomainen kuorma, jolla on tietty massa m, joka on ripustettu joustavaan jouseen. Hän suorittaa harmonisen tyyppisiä värähtelyliikkeitä, joita kuvataan kaavalla F = - kx.

- fyysinen oskillaattori (heiluri) - kiinteä runko, joka värähtelee staattisen akselin ympäri tietyn voiman vaikutuksen alaisena;

- matemaattinen heiluri (luonteeltaan, melkein koskaan ei tapahdu). Se on ihanteellinen malli järjestelmästä, joka sisältää värähtelevän fyysisen kehon, jolla on tietty massa, joka on ripustettu jäykkään, painottomaan säikeeseen.