Euler-ympyrät: esimerkit ja mahdollisuudet

Matematiikka on luonnostaan abstrakti tiede, jos siirrymme pois elementaarisista käsitteistä. Joten kolmella omalla parilla voit selvästi havainnollistaa perusoperaatioita, jotka perustuvat matematiikkaan, mutta toiminnan taso laajenee, nämä kohteet riittäytyvät. Onko kukaan yrittänyt kuvata toimintaa ääretöntä joukkoa omenoita? Se on vain piste, että ei. Mitä monimutkaisempia käsitteitä, joita matematiikka toimii tuomioissaan, sitä ongelmallisemmaksi se näytti olevan niiden visuaalinen ilmaisu, joka olisi suunniteltu helpottamaan ymmärrystä. Kuitenkin sekä modernin opiskelijoiden että tieteen onnellisuuden vuoksi Euler-piirejä oli johdettu, esimerkkejä ja mahdollisuuksia, joita tarkastelemme alla.

Hieman historiaa

17. huhtikuuta 1707 maailma esitteli tiedettä Leonhard Eulerille, erinomaiselle tutkijalle, jonka panos matematiikasta, fysiikasta, laivanrakennuksesta ja jopa musiikkiteorian käytöstä ei yliarvioitu. Hänen teoksensa on tunnustettu ja vaatimus tähän päivään koko maailmassa, vaikka tiede ei pysy paikallaan. Erityisen mielenkiintoista on se, että herra Euler suoriutui suoranaisesti Venäjän korkeamman matematiikan kouluun, varsinkin kun hän kahdesti palasi valtiomme kohtaloon. Tutkijalla oli ainutlaatuinen kyky rakentaa algoritmeja läpinäkyväksi logiikassaan, katkaisemalla kaikki tarpeettomat ja siirtymällä yleisestä erityiseen mahdollisimman lyhyessä ajassa. Emme kirjoita kaikkia ansioita, koska se vie paljon aikaa ja kääntyy suoraan artikkelin aiheeseen. Hän ehdotti käyttämään graafista esitystä sarjojen toiminnasta. Ympyröi Euler tahansa, jopa vaikein tehtävä, päätös voidaan kuvata visuaalisesti.

Mikä on pohjimmiltaan?

Käytännössä Euler-piirejä, joiden mallia on esitetty alla, voidaan soveltaa paitsi matematiikassa, koska "setin" käsitteet eivät ole pelkästään tässä kurinalaisuudessa. Joten heitä sovelletaan menestyksekkäästi hallintaan.

Yllä oleva kaavio esittää joukot A (irrationaaliset luvut), B (rationaaliset numerot) ja C (luonnolliset numerot) suhteet . Piirit osoittavat, että sarja C on sisällytetty sarjaan B, kun taas sarja A ei leikkaa millään tavoin. Esimerkki yksinkertaisimmasta, mutta selkeästi selittää "sarjojen keskinäisten suhteiden" erityispiirteet, jotka ovat liian abstrakteja todellisen vertailun vuoksi, jos vain niiden ääretöntä.

Logiikan algebra

Tämä matemaattisen logiikan ala toimii lausumilla, jotka voivat olla sekä tosia että vääriä. Esimerkiksi elementistä: numero 625 on jaettu 25: llä, numero 625 jaetaan 5: llä, numero 625 on yksinkertainen. Ensimmäinen ja toinen lausunto ovat totuus, kun taas jälkimmäinen on valhe. Tietenkin, käytännössä kaikki on monimutkaisempaa, mutta ydin näkyy selkeästi. Ja tietenkin Euler-piirit ovat jälleen mukana ratkaisussa, esimerkkejä niiden käytöstä ovat liian käteviä ja ilmeisiä jättää huomiotta.

Hieman teoria:

• Antakaa joukkoja A ja B olemassa ja olla tyhjiä, ja sitten heille määritellään seuraavat risteyksen, liittouman ja negation toiminnot.
• Sarjojen A ja B leikkauspiste koostuu elementeistä, jotka kuuluvat samanaikaisesti sekä sarjaan A että sarjaan B.
• Sarjojen A ja B liitos koostuu elementeistä, jotka kuuluvat sarjaan A tai B.
• Ryhmän A kielteisyys on joukko, joka koostuu elementeistä, jotka eivät kuulu sarjaan A.

Kaikki tämä taas kuvaa Eulerin piirejä logiikassa, sillä niiden avulla jokainen ongelma, monimutkaisuuden asteesta riippumatta, tulee ilmeiseksi ja ilmeiseksi.

Logiikan algebran aksioomat

Oletetaan, että 1 ja 0 ovat olemassa ja määritetään joukossa A, niin:

• Setin A negation negatiivinen on joukko A;
• Aseman A yhdistäminen ei-A: n kanssa on 1;
• Sarjan A liitäntä yhdellä on 1;
• A: n liitto itsessään on joukko A;
• Sarjan A liitäntä 0: llä on joukko A;
• A: n leikkaus ei-A: n kanssa on 0;
• A: n leikkaus itsessään on sarja A;
• A: n leikkauskohta 0 on 0;
• Sarjan A leikkaus 1: llä on sarja A.

Logiikan algebran perusominaisuudet

Oletetaan, että sarjat A ja B ovat olemassa ja eivät ole tyhjiä, niin:

• Settien A ja B risteyksessä ja liitossa matkusteluoikeus toimii;
• Settien A ja B risteyksessä ja yhdistämisessä yhdistää laki;
• Sarjojen A ja B risteyksessä ja yhdistämisessä sovelletaan jakelulakia;
• Settien A ja B leikkauspisteen negaatio on sarjojen A ja B negaatioiden leikkaus;
• Sarjojen A ja B liittymän negaatio on joukon A ja B negaatio.

Alla näytämme Eulerin ympyrät, esimerkit risteyksistä A ja B sekä C.

tulevaisuudennäkymät

Leonard Eulerin teoksia pidetään kohtuullisesti nykyajan matematiikan perustana, mutta nyt heitä sovelletaan menestyksekkäästi suhteessa viime aikoina ilmestyneeseen inhimilliseen toimintaan, ainakin yritysjohdon toteuttamiseen: Euler-ympyrät, esimerkit ja kaaviot kuvaavat kehitysmallien mekanismeja, olivatpa kyseessä Venäjän tai Anglo-Amerikan versio .