Järjestelmä lineaarinen algebrallisia yhtälöitä. Homogeenisen lineaarisen algebrallisia yhtälöitä

Koulussa, jokainen meistä tutki yhtälö ja varmasti, järjestelmän yhtälöt. Mutta monet eivät tiedä, että on olemassa useita tapoja ratkaista niitä. Tänään näemme tarkalleen kaikki menetelmiä ratkaista lineaarisen algebrallisia yhtälöitä, jotka koostuvat useammasta kuin kahdesta yhtälöitä.

tarina

Tänään tiedämme, että taiteen ratkaista yhtälöitä ja niiden järjestelmien peräisin muinaisesta Babyloniassa ja Egyptissä. Kuitenkin tasa tutussa muodossa näytti meille esiintymisen jälkeen yhtäläisyysmerkin "=", joka otettiin käyttöön vuonna 1556, jonka Englanti matemaatikko ennätys. Muuten, tämä symboli valittiin syystä: se tarkoittaa, kaksi rinnakkaista yhtä suureen osaan. Itse asiassa paras esimerkki tasa-arvo ei keksiä.

Perustaja modernin kirjoituksella ja symbolit tuntemattomia määrin ranskalaisen matemaatikon Fransua Viet. Kuitenkin sen nimitys on merkittävästi erilainen kuin tänään. Esimerkiksi neliön tuntematon määrä hän kirjaimella Q (lat "quadratus".) Ja kuution - kirjaimella C (lat "Cubus".). Nämä symbolit näyttävät nyt epämiellyttävä, mutta se oli kaikkein intuitiivinen tapa kirjoittaa lineaarisen algebrallisia yhtälöitä.

Kuitenkin, haittana vallitsevassa menetelmissä liuos oli, että matemaatikkojen huomioon vain positiivinen juuret. Ehkä tämä johtuu siitä, että negatiiviset arvot eivät ole mitään käytännön merkitystä. Tavalla tai toisella, mutta ensimmäinen katsotaan negatiiviseksi juuret alkoi sen jälkeen Italian matematiikan Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Raphael Bombelli 16-luvulla. Modernin ilmeen, tärkein tapa ratkaista asteen yhtälöt (kautta diskriminantti) perustettiin vasta 17-luvulla läpi teoksia Descartes ja Newton.

Keskellä 18. vuosisadan Sveitsin matemaatikko Gabriel Cramer löytänyt uuden tavan tehdä ratkaisu Lineaaristen yhtälöiden helpompaa. Tämä menetelmä oli myöhemmin nimettiin hänen, ja tähän päivään käytämme sitä. Mutta menetelmä Kramerin puhetta hieman myöhemmin, mutta nyt tulemme keskustelemaan asteen yhtälöt ja niiden ratkaisut erillään järjestelmästä.

lineaariset yhtälöryhmät

Lineaariset yhtälöryhmät - yksinkertaisin yhtälön muuttuja (t). Ne kuuluvat algebrallinen. Lineaariset yhtälöt kirjoitetaan yleisessä muodossa seuraavasti: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ja _n * x _n = b. Esittämisen tämän lomakkeen tarvitsemme valmistelussa järjestelmien ja matriiseista.

Järjestelmä lineaarinen algebrallisia yhtälöitä

Määritelmä tämä termi on: joukko yhtälöitä, jotka ovat yhteisiä tuntemattomia ja yleinen ratkaisu. Tyypillisesti, koulussa ratkaistua järjestelmää, jossa on kaksi tai jopa kolme yhtälöt. Mutta on olemassa järjestelmiä, joissa on neljä tai useampia komponentteja. Katsotaanpa ensin, miten kirjoittaa ne niin, että myöhemmin oli kätevä ratkaista. Ensinnäkin, järjestelmä lineaarisen algebrallisia yhtälöitä näyttää paremmalta, kaikki muuttujat kirjoitetaan x vastaava indeksi: 1,2,3 ja niin edelleen. Toiseksi, sen tulisi johtaa kaikki yhtälöt kanoninen muoto: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ja _n * x _n = b.

Onhan nämä vaiheet, voimme alkaa kertoa, miten löytää ratkaisu lineaarisia yhtälöitä. Paljon, että on kätevää matriisiin.

matriisi

Matrix - taulukko, joka koostuu rivejä ja sarakkeita, ja sen elementit ovat niiden risteyksessä. Tämä voi olla joko tietty arvo tai muuttuva. Useimmissa tapauksissa tarkoittavat osia, jotka on järjestetty alla alaindeksit (esim ₁₁ tai ₂₃ hyvin). Ensimmäinen indeksi osoittaa rivin numero, ja toinen - pylvääseen. Edellä matriisit kuin edellä ja mikä tahansa muita matemaattisia elementti voi suorittaa erilaisia toimintoja. Näin voit:

1) Vähennä ja lisää saman pöydän koko.

2) kerrotaan matriisi Jonkin tai vektorin.

3) Transponoi: Muunnosmatriisi rivit sarakkeet, ja sarakkeet - linjassa.

4) kerrotaan matriisi, jos rivien on sama kuin yksi niistä on eri määrä sarakkeita.

Keskustella yksityiskohtaisesti kaikki nämä tekniikat, koska ne ovat hyödyllisiä meille tulevaisuudessa. Vähentämällä ja lisäämällä matriisien on hyvin yksinkertainen. Koska käytämme samaa koko matriisin, kukin elementti yksi pöytä on liittyvät jokaiseen muuhun elementtiin. Näin lisäämme (vähentää) kaksi näistä elementeistä (on tärkeää, että ne seisovat samalla perusteella niiden matriisit). Kerrottuna useissa matriisin tai vektorin yksinkertaisesti kerrotaan kunkin elementin matriisin että määrä (tai vektori). Täytäntöönpano - erittäin mielenkiintoinen prosessi. Erittäin mielenkiintoista joskus nähdä hänet tosielämässä, esimerkiksi vaihdettaessa suunta tabletin tai puhelimen. Kuvakkeet työpöydällä on matriisi, ja jossa muutos asennossa, se on saatettu ja laajenee, mutta pienenee korkeus.

Tarkastellaan enemmän prosessia kuten matriisikertolasku. Vaikka hän kertoi meille, ja ei ole hyötyä, mutta on tietoinen siitä on yhä käyttökelpoinen. Moninkertaisesti kaksi Matriisit voivat olla ainoastaan sillä ehdolla, että sarakkeiden määrä yhdessä taulukossa on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä muita. Nyt ottaa yksi matriisin rivi elementit ja muut elementit vastaavan sarakkeen. Moninkertaistaa ne toisiinsa ja sitten summa (eli esimerkiksi, tuotteen elementtien ₁₁ ja ₁₂ ja ₁₂ b ja ₂₂ b on yhtä suuri kuin: a * b _{11 12} + ₁₂ * b ja _22). Näin ollen, yhden pöydän kohteen, ja samanlaista menetelmää kuin se on täytetty edelleen.

Nyt voimme alkaa pohtia, miten ratkaista lineaarisia yhtälöitä.

Gauss

Tämä teema alkoi tapahtua koulussa. Tiedämme hyvin käsite "järjestelmän kaksi lineaarista yhtälöä" ja osaa ratkaista niitä. Mutta mitä jos yhtälöitä on suurempi kuin kaksi? Tämä auttaa meitä Gaussin menetelmällä.

Tietenkin tämä menetelmä on kätevä käyttää, jos teet matriisin järjestelmän. Mutta et voi muuntaa sitä ja päättää omasta.

Joten, miten ratkaista se, jonka lineaarisen yhtälöryhmän Gaussin? Muuten, vaikka tätä menetelmää ja nimetty hänen mukaansa, mutta löysi sen muinoin. Gaussia on operaatio suoritetaan siten, että yhtälöt, lopulta johtaa kokonaisuudessaan ja riviporrastusmuodon. Eli sinun täytyy ylhäältä alaspäin (jos oikein sijoittaa) ensimmäisestä viimeiseen yhtälö hiipunut yksi tuntematon. Toisin sanoen, meidän täytyy varmistaa, että meillä on, sanovat, kolmeen yhtälöön: ensimmäinen - kolme tuntematonta, toisella - kaksi kolmannesta - yksi. Sitten viimeisestä yhtälöstä, löydämme ensimmäinen tuntematon, korvaa sen arvo toiseen tai ensimmäinen yhtälö, ja edelleen löytää loput kaksi muuttujaa.

Cramerin sääntö

Kehittämiseksi tätä tekniikkaa on tärkeää hallita taidot, vähennys- matriisien sekä tarve löytää vaikuttavia tekijöitä. Siksi, jos et halua näin kaikki tai eivät tiedä miten, on tarpeen oppia ja olla koulutettu.

Mikä on pohjimmiltaan tätä menetelmää, ja miten se tehdään, saada lineaarisen yhtälöryhmän Cramer? Se on hyvin yksinkertaista. Meidän täytyy rakentaa matriisi numerot (lähes aina) kertoimet lineaarisen algebrallisia yhtälöitä. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti ottaa numero tuntematon, ja järjestämme pöydän järjestyksessä kuin ne on tallennettu järjestelmään. Jos numeron eteen on merkki "-", sitten kirjoittaa negatiivinen kerroin. Niin, teimme ensimmäinen matriisi kertoimien tuntemattomien, ei kuten numero suuri merkin jälkeen (tietenkin, että yhtälö on vähennettävä kanoninen muoto, kun oikea on vain numero, ja vasen - kaikki tuntemattomia kertoimia). Sitten sinun täytyy tehdä muutama matriiseja - yksi kutakin muuttujaa. Tätä tarkoitusta varten, että ensimmäinen matriisi on korvattu yhden sarakkeen kunkin sarakkeen numerot kertoimien kanssa yhtä suuri merkin jälkeen. Näin saamme muutaman matriisit ja sitten löytää niihin vaikuttavista tekijöistä.

Jälkeen löysimme karsinnoissa se on pieni. Meillä on ensimmäinen matriisi, ja on olemassa useita johdettu matriiseja, jotka vastaavat eri muuttujia. Saada järjestelmä liuos, me jakaa determinantti tuloksena taulukko pääasiallinen määräävä taulukossa. Saatu numero on arvo yksi muuttuja. Samoin löydämme kaikki tuntemattomia.

muita menetelmiä

On olemassa useita menetelmiä, jotta saadaan liuos, jossa oli lineaarisia yhtälöitä. Esimerkiksi, ns Gauss-Jordan menetelmä, jota käytetään löytää ratkaisuja järjestelmän asteen yhtälöt, ja koskee myös matriisien käyttöä. On myös Jacobin menetelmä ratkaista järjestelmän lineaarinen algebrallisia yhtälöitä. Hän mukautuu helposti kaikki tietokoneet ja sitä käytetään laskettaessa.

monimutkaisissa tapauksissa

Monimutkaisuus yleensä ilmenee, jos yhtälöiden määrä on pienempi kuin määrä muuttujia. Sitten voimme varmasti sanoa, tai järjestelmä on epäjohdonmukainen (eli ei ole juuria), tai numero päätöstensä pyrkii äärettömään. Jos meillä on toinen asia - se on pakko kirjoittaa yleinen ratkaisu on lineaarisen yhtälöryhmän. Siihen sisältyy ainakin yksi muuttuja.

johtopäätös

Tästä pääsemme loppuun. Yhteenvetona: meidän täytyy ymmärtää, mitä järjestelmä matriisi, oppi löytää yleinen ratkaisu on lineaarisen yhtälöryhmän. Lisäksi pohdimme muita vaihtoehtoja. Me tajunnut, miten ratkaista lineaarisia yhtälöitä: Gaussin eliminointia ja Cramerin sääntö. Puhuimme vaikeita tapauksia ja muita tapoja löytää ratkaisuja.

Itse asiassa tämä ongelma on paljon laajempi, ja jos haluat ymmärtää paremmin sitä, kannattaa lukea enemmän Ammattikirjallisuusmateriaalin.